Šta je zapravo heksagezimalni sistem i šta predstavlja klinasto pismo? Dok nas na spomen drevnih matematičkih divova poput Egipćana odmah asociraju brojne ikonične slike i historijski momenti, mnogim ljudima je teško sjetiti se po čemu je to vavilonski sistem brojeva bio poseban.
Ako ste ikada pohađali kurs koji spominje Mesopotamiju, sigurno ste učili o Babiloncima. Smješten na području današnjeg Irana i Iraka, Babilon se često smatra jednim od prvih velikih gradova na svijetu. Iako je to tema za debatu, ne možemo poreći utjecaj koji je babilonska civilizacija imala na modernu politiku, historiju i matematiku.
Poznavanje babilonskih brojeva može vam pomoći da bolje razumijete matematiku u današnjem svijetu. Učenje o heksagezimalnoj i klinastoj notaciji pomoći će vam da odgovorite na pitanja o našem vlastitom sistemu brojanja koja niste ni znali da imate. Na primjer, zašto se tačno nula nalazi u sredini svih brojeva?
Uronimo zajedno u matematičku historiju ove drevne civilizacije!
Historija babilonske civilizacije
Mesopotamija je bila regija koja je obuhvatala dijelove današnje Turske, Sirije, Irana, Iraka, pa čak i Kuvajta – protežući se duž riječnih sistema Tigrisa i Eufrata. Možda ste čuli da se ova regija naziva i "Plodni polumjesec".
Iako se njihovi matematički sistemi čine potpuno drugačijim od naših, Mesopotamija i Egipat su iznijeli rođenje matematike kakvu danas poznajemo. Svaki kurs historije će vam reći da je mesopotamska civilizacija počela oko 3100. godine p.n.e., a završila padom Babilona 539. godine p.n.e.
Ljude koji su naseljavali ovu regiju često nazivamo Babiloncima, iako su to zapravo bili Sumerani i Akađani. Mnogo toga što su ovi drevni ljudi otkrili zapisano je na glinenim pločicama, što nam pruža dubok uvid u probleme koje su morali rješavati na dnevnoj bazi.
Babilonska civilizacija nije bila jedina koja je shvatila moć brojeva. Da biste vidjeli širu sliku o tome kako su matematika i temelji drevne civilizacije omogućili nastanak prvih gradova i država, preporučujemo da istražite naše ostale vodiče kroz historiju nauke.
Slično ostalim drevnim kulturama, ono što je otkriveno u Mesopotamiji danas smatramo osnovnom matematikom. Međutim, na tim babilonskim pločicama pronaći ćete ideje kao što su kvadratne i kubne jednačine, pa čak i Pitagorinu teoremu! Hajde da detaljnije pogledamo njihove matematičke zapise i brojeve.
Od prostog brojanja do složene trigonometrije
Kao što vidite na pločici iznad (Plimpton 322), babilonski matematičari su brzo prevazišli jednostavne simbole za hiljade. Umjesto da samo bilježe zalihe žita, oni su koristili svoj napredni vavilonski sistem brojeva kako bi istražili duboke matematičke relacije.
Ovaj artefakt nije samo lista brojeva; on predstavlja jednu od najstarijih i najpreciznijih trigonometrijskih tablica na svijetu. To nam potvrđuje da su Babilonci razumjeli proporcije pravouglog trougla mnogo prije nego što su ti koncepti stigli do antičke Grčke. Upravo je ovaj prelaz sa "brojanja predmeta" na "analizu prostora" učinio njihovu civilizaciju naučnim gigantom svog vremena.
Babilonski proračuni kvadrata i korijena bili su nevjerovatno precizni. Ovi babilonski temelji direktno su utjecali na kasnije mislioce kao što je Pitagora i starogrčka matematika, koji su babilonsku praktičnu algebru pretvorili u apstraktnu geometriju koju danas učimo u školama.
Pozicioni brojevni sistem
Da bismo razumjeli sistem brojeva koji su koristili ovi ljudi, prvo moramo razumjeti naš vlastiti. Danas koristimo pozicioni brojevni sistem. Iako ovo zvuči kao komplikovan matematički termin, zapravo je vrlo jednostavno.
Pozicioni brojevi su jednostavno cifre od nula do devet. Iako imamo samo tih 10 simbola (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), nismo ograničeni samo na brojeve do 9. Ove simbole možemo koristiti u kombinacijama kako bismo stvorili milione drugih brojeva.
Ti brojevi se pišu i čitaju s lijeva na desno. Ovisno o tome gdje je broj postavljen, on odgovara određenom iznosu. Pogledajmo šta to zapravo znači:
| Simbol | Pozicija | Značenje |
|---|---|---|
| 2 | Jedinice | Imamo 2 jedinice (2×1) |
| 20 | Desetice | Imamo 2 desetice (2×10) |
| 200 | Stotine | Imamo 2 stotine (2×100) |
| 2000 | Hiljade | Imamo 2 hiljade (2×1000 |
Kao što vidite, mjesto na koje stavimo cifru 2 je veoma važno jer može značiti da imamo 20 ili 200. Ne možemo staviti 2 u sredinu, npr. 020, i čitati to kao 200. To je suština onoga što nazivamo pozicioni brojevni sistem.
Vavilonski brojevi nisu od samog početka koristili ovaj sistem. Vraćajući se oko 3500. godine p.n.e., vidimo da su Sumerani koristili matematički sistem u kojem su oznake za brojeve bili različiti simboli. Sumerani su imali simbole samo za brojeve 1, 10, 100 i 1000. To je značilo da su mogli pisati samo do broja 9999.
Kao i mnoge druge drevne civilizacije, ni oni nisu imali simbol za broj nula. Simbol za broj 1 imao je oblik klina (podsjeća na baterijsku lampu), simbol za broj 10 bio je u obliku strelice, i tako dalje. U početku nije bilo važno kojim redoslijedom pišete ove simbole, jer je svaki broj imao svoj znak. To znači da je sistem bio nepozicioni.
Međutim, ovaj sistem je imao mnogo nedostataka. Zato su u jednom trenutku svoje historije uveli nekoliko reformi. Prvo, usvojili su pozicioni sistem koji i danas koristimo. Ali, umjesto baze 10, ovi ljudi su zapravo koristili sistem s bazom 60!
Babilonci su bili opsjednuti kretanjem nebeskih tijela. Koristili su svoj sistem baze 60 kako bi podijelili nebo na 360 stepeni (približan broj dana u godini). Njihovi astronomi su bili toliko precizni da su mogli predvidjeti pomračenja i kretanje Jupitera koristeći rane oblike geometrije. Upravo zato danas krug ima 360 stepeni, a sat 60 minuta – to je babilonsko naslijeđe koje svako veče vidimo na nebu.
Poseban naziv za brojevne sisteme s bazom 60 je heksagezimalni sistem (ili sexagesimal). Zapravo, iz njihovog sistema potiče naša moderna upotreba raznih mjera, kao što su 60 sekundi u minuti, 360 stepeni u krugu i još mnogo toga!
To znači da su imali simbole za svaki broj između 1 i 59. Budući da je sistem postao pozicioni, ako biste imali simbol za 1 i 40 u istoj liniji (ali na različitim pozicijama), dobili biste:
1*60 + 40*60 = 2460
Broj 60 je bio odličan izbor za bazu jer je rad s razlomcima činio izuzetno jednostavnim. To je zato što 60 ima mnogo faktora (brojeva kojima je djeljiv). Uporedite faktore ove dvije različite baze:
| Baza | Faktori |
|---|---|
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 |
Matematika na drevnim glinenim pločicama
Za razliku od egipatske matematike, gdje imamo vrlo malo sačuvanih zapisa o njihovim matematičkim procesima, o sumerskoj matematici imamo gomilu informacija. Dok su Egipćani svoje numeričke sisteme pisali na papirusu, sumerska civilizacija je svoje zapise bilježila na glinenim pločicama.
Različiti razlomci i zapisi ovih drevnih ljudi urezivani su u glinu dok je još bila mokra. Te pločice su se zatim pekle u pećima ili jednostavno na sunčevoj toploti. Na sreću, naučnici su uspjeli pronaći oko 400 takvih pločica. Većina njih potiče iz onoga što je poznato kao starobabilonski period, koji je trajao od 1830. do 1531. godine p.n.e.
Ovi ljudi su na glini pisali pismom koje se naziva klinasto pismo. Ono se obično opisuje kao pismo "klinastog oblika" i, uz egipatske hijeroglife, predstavlja jedan od najstarijih sistema pisanja na svijetu.
Dok su Babilonci utiskivali svoje simbole u vlažnu glinu, na obalama Nila razvijao se sasvim drugačiji vizuelni identitet. Drevni Egipćani i njihova matematika koristili su hijeroglife za zapisivanje brojeva, što je bio proces sporiji, ali vizuelno impresivniji od babilonskog klinastog pisma.
Možda ćete primijetiti da se klinasto pismo uveliko razlikuje od egipatskih hijeroglifa. Klinasto pismo je zapravo nastalo zbog činjenice da ovi rani narodi nisu mogli lako stvarati zakrivljene linije unutar gline.
Još jedna zanimljivost je poređenje sa drugim sistemima: dok kineski sistem koristi logografske znakove koji predstavljaju riječi sa dosljednom strukturom, a egipatski hijeroglifi kombinuju slikovne simbole i fonetske znakove, klinasto pismo je ostalo strogo geometrijsko i praktično za materijal na kojem je nastalo.
Na ovim pločicama pronašli smo mnoge matematičke principe, uključujući teme kao što su:
- Razlomci
- Kvadratni i kubni izrazi
- Pa čak i Pitagorina teorema!
Baza 60 je bila babilonsko čudo, ali na dalekom Istoku, kineski brojevi i njihova historija razvijali su se u smjeru decimalnog pozicionog sistema koji je bio podjednako efikasan za trgovinu i rane naučne proračune.
S obzirom na to da ovi koncepti mogu biti prilično teški za savladavanje, razmislite o radu sa stručnim tutorom matematike koji vam može pomoći da ih lakše razumijete.
Babilonska tabela kvadrata
Iako ste možda navikli da lako računate kvadrate brojeva jer ste ih morali naučiti napamet u školi, ovi drevni ljudi nisu imali tako jednostavan zadatak. Budući da su Sumerani imali nešto složenije simbole i pravila, morali su smisliti bolje rješenje.
S obzirom na to da je vavilonski sistem brojeva bio baziran na broju 60, čak i operacije koje danas smatramo jednostavnim mogle su biti izazovne. Povrh toga, u njihovom sistemu nije bilo decimalnih zareza — postojali su samo cijeli brojevi (integeri). Tabela kvadrata bila je način da se zapišu smjernice za operacije koje bi bilo preteško pamtiti napamet.
Njemački naučnik Richard Lepsius analizirao je 1877. godine dvije pločice za koje je utvrdio da su zapravo liste, ili tabele, kvadrata. Ovu analizu potvrdili su George Rawlinson i George Smith, a ove tabele su nam dale ogroman uvid u to kako su Sumerani zapravo praktikovali matematiku.
Pitagorini trojci: Otkriće prije Pitagore
Ne samo da su antička Grčka i Egipat došli do nečega sličnog onome što danas poznajemo kao Pitagorina teorema, već su i stari Babilonci otkrili ovaj "magični" trougao. Pronađene su dvije babilonske pločice koje prikazuju listu Pitagorinih trojki.
Ove pločice datiraju oko 1.000 godina prije nego što je Pitagora uopšte bio živ, što sugerira da zloglasnu teoremu zapravo nisu prvi otkrili grčki matematičari i filozofi.
Pločica koja je najvažnija za razumijevanje ovog trougla zove se Si.427. Ona pokazuje kako koristiti Pitagorine trojke za stvaranje pravih uglova. Možda se pitate zašto je to toliko važno?
Klinasto pismo. Nije imalo glamur egipatskih hijeroglifa – sastojalo se uglavnom od crtica – pa ipak, upravo od tih znakova historija je zvanično počela.
Sarwat Chadda
Pravougli trouglovi u inženjerstvu, naročito u davna vremena, bili su od presudne važnosti za izgradnju velikih građevina, premjeravanje zemljišta i izradu preciznih mapa!
Ako pogledate samu pločicu, možda vam neće izgledati kao nešto posebno. Međutim, ono što ćete vidjeti je klinasto pismo uz mnoštvo okomitih linija, koje su služile za precizno izračunavanje pravog ugla.
Započnite svoje učenje o Pitagorinim trojkama već danas uz stručne instrukcije iz matematike.
Zaključak: Naslijeđe zapisano u glini
Babilonska matematika nas podsjeća da su korijeni naše moderne tehnologije i nauke mnogo dublji nego što često mislimo. Iako nam se klinasto pismo na prvi pogled može činiti stranim, logika koju su ovi drevni ljudi koristili za mjerenje vremena, krugova i zemljišta i danas kuca u našim satovima i navigacijskim sistemima.
Brojevni sustavi drevnih civilizacija pomažu nam spoznati da Babilonci nisu bili samo trgovci i graditelji, već vizionari koji su prepoznali snagu broja 60 i pozicione vrijednosti. Njihova sposobnost da rješavaju kompleksne jednačine i koriste geometrijske principe hiljadama godina prije modernih naučnika dokaz je univerzalnosti ljudske inteligencije.
Sljedeći put kada pogledate na sat i vidite da je prošlo 60 sekundi, sjetite se da u tom malom trenutku koristite znanje staro preko četiri milenija. Historija matematike je priča o kontinuitetu, a Babilonci su u toj priči ispisali neka od najvažnijih poglavlja.
Sažmi uz pomoć AI
Da li ti se dopao članak? Zapiši to!
Loading...
